赌博

也就是开司和利根川玩的那个国王-市民-奴隶的卡牌游戏

一、首先考虑剧中的设定

假设双方有n张民牌

王方：王 民 ... 民

奴方：奴 民 ... 民

设

a[n]: 王方胜利的概率

1-a[n]: 奴方胜利的概率

第一局双方出牌的概率

王方

p[n]：出王的概率 1-p[n]：出民的概率

奴方

q[n]：出奴的概率 1-q[n]：出民的概率

有一个地方我没懂，双方的卡牌可以收回去吗？

如果双方都出民，那民肯定是要收掉的，不然一直出民，游戏就永远不会结束了

但如果一方出的不是民呢？例如双方出王-民

1、双方都能保留自己的牌。那双方可以一直出王或奴，牌就不会损耗；就算这一张牌输了，但是可以一直拖下去，游戏永不完结，就没有意义了

2、王方的王可以保留，奴方的民损耗掉（像是军棋）

3、双方的牌都损耗掉，只是给王方+1分

其实23两种情况的最后结果没有区别

四种情况：

p[n]q[n]: 王-奴，奴方胜利

因为接下来奴方可以一直出民，把王方的民全部兑掉即可

如果奴方可以保存这张奴，那最后还能剩一个奴

p[n](1-q[n]): 王-民，王方胜利

因为接下来王方可以一直出民，把奴方的民全部兑掉即可

如果王方可以保存这张王，那最后还能剩一个王+民

(1-p[n])q[n]: 民-奴，王方胜利

因为接下来王方可以一直出民，把奴方的民全部兑掉即可

如果王方可以保存这张民，那最后还能剩一个王

如果王方可以保存这张民，那还可以改成一直出王，把奴方的民全部吃掉，最后全部牌都能存活

(1-p[n])(1-q[n]): 民-民，双方的牌抵消掉，转移成双方n-1张民牌的情况

a[n-1]: 王方胜利

1-a[n-1]: 奴方胜利

特别地，如果n=0（递推的初始情况）

双方0张民

王方：王

奴方：奴

此时

a[0] = 0: 王方胜利

1-a[0] = 1: 奴方胜利

出牌概率：

王方：p[0] = 1

奴方：q[0] = 1

总结：

递推起始条件

a[0] = 0

p[0] = 1

q[0] = 1

递推式：

a[n] = p[n](1-q[n]) + (1-p[n])q[n] + (1-p[n])(1-q[n])a[n-1]

设王方期望收益：赢了收获W，输了赔付S

e[n] = a[n]W - (1-a[n])S

设奴方期望收益：赢了收获S，输了赔付W

(1-a[n])S - a[n]W

零和博弈，-e[n]

（其实不妨假设W=1）

纳什均衡：

王方收益对q[n]求导，结果为0：当王方这样选择时，奴方没有调整策略的倾向

(-p[n] + (1-p[n]) - (1-p[n])a[n-1]) W

+ (-p[n] + (1-p[n]) - (1-p[n])a[n-1]) S

= (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) W

+ (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) S

= (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) (W+S)

= 0

得到：p[n] = (1-a[n-1]) / (2-a[n-1])

1-p[n] = 1 / (2-a[n-1])

奴方收益对p[n]求导，结果为0：当奴方这样选择时，王方没有调整策略的倾向

与王方的式子完全对称，所以q[n] = p[n]

再代入递推式：

a[n]

= p[n](1-q[n]) + (1-p[n])q[n] + (1-p[n])(1-q[n])a[n-1]

= 2 (1-a[n-1]) (2-a[n-1])^2 + a[n-1] / (2-a[n-1])^2

= 1 / (2-a[n-1])

则1-a[n] = (1-a[n-1]) / (2-a[n-1])

1 / (1-a[n]) = (2-a[n-1]) / (1-a[n-1]) = 1 + 1 / (1-a[n-1])

解得

1 / (1-a[n]) = n+1

a[n] = n/(n+1)

p[n] = 1-a[n-1] / (2-a[n-1]) = 1-(n-1)/n / 2-(n-1)/n = 1/n / 1+1/n = 1 / n+1

即：纳什均衡策略是双方完全随机出牌

那么就等价于：双方一次性把n+1张牌排好顺序全部出出来，然后一起开牌

如果王和奴在同一顺位，那么奴方胜利

否则，王方胜利

结果是一样的：其实从一开始就这么考虑的话，最简单

王方期望收益：赢了收获W=1，输了赔付S

a[n]W - (1-a[n])S = n/(n+1) W - 1/(n+1) S

需要S是W的n倍

剧中n=4

第一步以1/5的概率出王/奴，第二步1/4，第三步1/3，第四步1/2，第五步1/1

王方胜率是4/5，奴方是1/5

需要S是W的4倍，才公平

现在S是W的5倍，所以开司占便宜

不过，其实一边赌的是钱，一边赌的是耳朵，完全不同，其实也很难说这是几赔几

二、考虑剧中的设定的变种：假如双方每出一张牌就进行一轮结算呢？

之一、假如双方的牌都能保留自己的牌

那么张数就没有多少意义了，相当于石头剪子布，一方只能出石头（民）+布（王），一方只能出石头（民）+剪刀（奴）

王方：p的概率出王，1-p的概率出民

奴方：q的概率出奴，1-q的概率出民

四种情况：

pq: 王-奴，奴方收益 S - e，王方收益 -S + e

p(1-q): 王-民，王方收益 W + e

(1-p)q: 民-奴，王方收益 W + e

(1-p)(1-q): 民-民，王方收益 0 + e

e = pq(-S+e) + p(1-q)(W+e) + (1-p)q(W+e) + (1-p)(1-q)e

0 = pq(-S) + p(1-q)W + (1-p)qW

= -pqS + (p+q-2pq)W

e都被约掉了？

的确，王方每次收益应该是恒正，叠加起来会接近于无穷

那么只玩一轮才对，那就是

e = pq(-S) + p(1-q)W + (1-p)qW

无论是一轮还是无穷轮，两者的纳什均衡是一样的：

王方收益对q求导，结果为0：当王方这样选择时，奴方没有调整策略的倾向

0 = -pS + (1-2p)W

p = W / (S+2W)

同理 q = W / (S+2W)

e = -W^2 S / (S+2W)^2 + W (2W / (S+2W) - 2W^2 / (S+2W)^2)

e / W^2 = -S / (S+2W)^2 +(2 / (S+2W) - 2W / (S+2W)^2)

e * (S+2W)^2 / W^2 = -S + (2 (S+2W) - 2W) = S+2W

e = W^2 / (S+2W) > 0 恒成立

S需要尽可能大，使得e趋近于0，才比较公平

不过此时，p = q = W / (S+2W)也会趋近于0，即双方几乎都只出民

的确，王方一直出民，至少可以立于不败之地

之二、如果双方都出民，则收掉；否则都保留

四种情况：

p[n]q[n]: 王-奴，奴方收益 S - e[n]，王方收益 -S + e[n]

p[n](1-q[n]): 王-民，王方收益 W + e[n]

(1-p[n])q[n]: 民-奴，王方收益 W + e[n]

(1-p[n])(1-q[n]): 民-民，双方的牌抵消掉，转移成双方n-1张民牌的情况，王方收益 0 + e[n-1]

之三、胜方保留自己的牌（军棋模式）

1、如果第一轮是民-奴，那么接下来王方当然一直出王，把奴方的民全部吃掉，每一轮都能赢

2、如果第一轮是王-奴，奴方接下来必须一直兑民，因为再出奴就是白送

3、如果第一轮是王-民，那么接下来王方如果采用兑民战术，就可以保证收益大于0，但不够高

如果接下来还想出王再多吃民，收益可能更高，但王也可能被奴吃回去，比赛回到平局

之四、双方的牌都消耗掉

四种情况：

p[n]q[n]: 王-奴，奴方收益 S - e[n-1]，王方收益 -S + e[n-1]

p[n](1-q[n]): 王-民，王方收益 W + e[n-1]

(1-p[n])q[n]: 民-奴，王方收益 W + e[n-1]

(1-p[n])(1-q[n]): 民-民，双方的牌抵消掉，转移成双方n-1张民牌的情况，王方收益 0 + e[n-1]

之二三四的情况，以后再算吧

在我心中可以称作日漫心理战作品之首。

第一局的扑克牌规则简单，用来引入剧情；战术不简单，就像是国家间相互拉拢、有利益勾结又有背叛的缩影。

小小的石头剪刀布就有这么大的讲究，很难不让人继续看下去。

第二局更多是物理层面的，没有什么耍小聪明的办法，只能眼睁睁看着同伴和自己一步步被恐惧所吞噬，这也是我看得最胆颤心惊的一局。

但很值得玩味，这一局恰恰有着人性温暖面的出现。

大叔把最后的希望寄托给开司，为了不影响他，坠入深渊时硬是没有吭声一句。

他承认自己的软弱，承认一些人才是英雄般的主角；他也为自己赢得了尊严，他在生命的最后一刻，没有认输。

佐原和开司互相打气的片段也是，在这无尽的黑暗中，人和人的心灵窥得一丝共通，他人的存在本身就足以慰藉自我，人本身，就是希望。

第三局的国王与奴隶，看起来像是扑克牌的不平衡版。加上了听力作为赌注，戴在耳上的机器就像是达摩克利斯之剑一样横在开司和我们观众的头上。

但正是有勇敢站出来的奴隶，才能推翻残暴国王的统治。

但是开司赢了之后还不收手，从这里开始我看不到他身上的闪光点了，他沦为了最普遍的那一类赌徒。

刚对他建立起来的好感瞬间就没了。

赌狗的心理就是，赢了会理所当然地认为下一把也会赢，输了又会觉得，都输过这么多了，下一把肯定赢。

永远不知道见好就收。

但其实下一把的输赢只和下一把本身有关。

开司也只是输了他必输的一局。

他从一开始被朋友骗，不得已才上船还债，到后面自己迷上了赌博这种快感，初心已经不再。

不管借口说得多么冠冕堂皇，替人报仇，替自己报仇，其实还是自己想赌。真正为死去的同伴着想，那应该赶快远离这场地狱，带着同伴用惨痛代价换来的希望活下去。

他不是什么逆境无赖，只是一个运气偶尔好的有些聪明的赌徒罢了。

因为放到现实中，赌博赌到最后，必然一无所有。

开司很善良，但是他的身上有着大部分普通人都有的惰性，他不想工作，不想努力，只想想着挣大钱！

因为他的惰性，所以他的处境越来越艰难。在动画中，也指出了一个关于人生的道理：如果我有钱，我还会变得这么堕落吗？其实很多人都是因为看不见希望才越来越堕落。给自己树一个小目标，慢慢来，不要心急，不要堕落。

福本伸行并未将所有精力都放在怎样把故事说得更巧妙更曲折更惊心动魄上，他擅长描写心理活动，这种擅长不单体现人与人之间的尔虞我诈，更体现在开司迂回曲折的心路历程上。开司的悔恨，开司的胆怯，开司的天真，开司的混乱……均以画面及文字的形式展现在读者面前，接连不断的。这样做的好处是更加引人入胜，细细阅读下容易产生代入感，随主角一起同呼吸共命运。坏处是反复运用下不免让人感觉絮叨，反而有点像是说教了。因为全书对社会对人性对人生的影射是相当之多的，至于这究竟该算是强调还是赘笔，则是见仁见智。 或许开司的骤然升级令人感觉有些不真实，而他的善良，以及因为善良反遭出卖的遭遇，却令人倍感真实。 这不只是一部好看的赌博大片，它总会令你想到一些东西，或是为一些东西不是滋味。 不同于玩扑克斗脑筋的第一章，第二章一开始，带给读者的就是纯粹直观的感官刺激。仍然是赌，但是赌的东西是生命。一旦失败，死伤立见。 主线也开始浮出水面，幕后的黑手们慢慢走到台前，那是一群丧心病狂的暴发户，有著用不完的钱，以践踏穷人的生命和尊严取乐。他们设计出类似踩钢丝的游戏让他们从高楼之间走过，胜者可得到奖金。看著玩命的竞争者们杀红了眼而互相陷害，他们乐得哈哈大笑。 先后两次的踩钢丝都有别于上一章的斗智，玩的就是心跳。这，可以视作一个过渡，用途是让开司距离幕后黑手们近一点，更近一点。而皇帝牌之战又把一切情绪重新吊回渡轮时期。而作为读者的我们，只需要再一次感叹福本伸行于简单处卖繁华的本事。 心理战的比重也变得比之前都更大。惨烈程度则是有过之而无不及。男主角伊藤开司甚至献出了一只耳朵。即便他是天才，也依然有被折磨到伤痕累累的一天。开司始终是个凡人，有著属于普通人的贪婪与鲁莽，没有被抬高到神的地位。 至此，第一部正式画下句号。第二部紧锣密鼓跟上。开司的复仇和战斗仍在继续。以赌博来创造未来的人生也不会改变。 那么，一路走好，伊藤开司……